Modèles mathématiques 1D et 2D pour l’écoulement sanguin
Modèle 1D
Le modèle 1D repose sur une intégration par section des équations de Navier-Stokes sous l’hypothèse d’un écoulement incompressible dans des artères supposées fines. Ce modèle est particulièrement adapté pour des études globales du réseau artériel, où la géométrie est approximativement linéaire ou faiblement courbée.
Hypothèses et simplifications
- L’écoulement est considéré comme incompressible.
- L’artère est modélisée comme un tube cylindrique de section variable en fonction de la pression.
- Un profil de vitesse parabolique est utilisé, permettant une moyennisation sur la section transversale de l’artère.
Équations principales
Les équations dérivées sont un système d’équations hyperboliques aux dérivées partielles décrivant la conservation de la masse et de la quantité de mouvement :
- Conservation de la masse :
\[∂_t A + ∂_x Q = 0\]
- Conservation de la quantité de mouvement :
\[∂_t Q + ∂_x \left( \alpha \frac{Q^2}{A} + \frac{1}{\rho} A P(A, x) \right) - \partial_x \left( 3\nu A \partial_x\left(\frac Q A\right) \right) = \frac{1}{\rho} P(A, x) ∂_x A - \frac{2\pi R K}{1-\frac{Rk}{4\nu}} \frac{Q}{A}\]
Énergie et relation d’entropie du modèle 1D
L’énergie associée au système est donnée par :
\[E(t, x) = \frac{A u_x^2}{2} + \frac{1}{\rho} A P(A, x) - \frac{\beta(x)}{3 \rho A_0(x)} A^{3/2}\]
La relation d’entropie vérifiée par cette énergie est :
\[∂_t E + ∂_x \left( \left( E + \frac{\beta(x)}{3 \rho A_0(x)} A^{3/2} \right) u_x \right) = ∂_x \left( 3 \nu A ∂_x \left( \frac{Q}{A} \right) \right) u_x + \frac{2 \pi R k}{1 - R k / 4 \nu} u_x^2 ≤ 0\]
Sous des conditions aux limites nulles :
\[∂_t \left( \int_0^L E \, dx \right) = - 3 \nu \int_0^L A (∂_x u_x)^2 \, dx - \frac{2 \pi R k}{1 - R k / 4 \nu} \int_0^L u_x^2 \, dx < 0\]
Modèle 2D
Le modèle 2D est dérivé à partir d’une intégration radiale des équations de Navier-Stokes, permettant de mieux représenter les effets locaux dans des configurations géométriques complexes, comme les bifurcations artérielles et les anévrismes sévères.
Hypothèses et simplifications
- L’écoulement est supposé incompressible.
- La géométrie de l’artère est décrite à l’aide d’un système de coordonnées curvilignes (( s, heta )).
- Le profil de vitesse est obtenu sans recourir à un ansatz spécifique.
Équations principales
- Conservation de la masse :
\[∂_t A + ∂_θ \left( \frac{Q_{Rθ}}{A} \right) + ∂_s(Q_s) = 0\]
- Conservation de la quantité de mouvement (composante radiale et axiale) :
\[∂_t (Q_{Rθ}) + ∂_θ \left( \frac{Q_{Rθ}^2}{2 A^2} + A P \right) + ∂_s \left( \frac{Q_{Rθ} Q_s}{A} \right) = \frac{2 R}{3} C \sin θ \frac{Q_s^2}{A} + \frac{2 R k Q_{Rθ}}{A} + P∂_θ (A)\]
\[∂_t (Q_s) + ∂_θ \left( \frac{Q_s Q_{Rθ}}{A^2} \right) + ∂_s \left( \frac{Q_s^2}{A} - \frac{Q_{Rθ}^2}{2 A^2} + A P \right) = - \frac{2 R}{3} C \sin θ \frac{Q_{Rθ} Q_s}{A^2} + \frac{k R Q_s}{A} + P∂_s (A)\]
Énergie et relation d’entropie du modèle 2D
L’énergie associée au système est donnée par :
\[E(t, θ, s) = A \left( \frac{9}{8} u_θ^2 + \frac{u_s^2}{2} + p \right) - p̃\]
La relation d’entropie correspondante est :
\[∂_t E + ∂_θ \left( \frac{3}{2} \frac{u_θ}{R} \left( E + p̃ - \frac{9}{16} A u_θ^2 \right) \right) + ∂_s \left( u_s \left( E + p̃ - \frac{9}{16} A u_θ^2 \right) \right) = \frac{9}{4} R k u_θ^2 + k R u_s^2 ≤ 0\]
Cette relation garantit que l’énergie décroît localement dans le temps, ce qui assure la stabilité du modèle.
Comparaison des modèles 1D et 2D
- Modèle 1D :
- Rapide et efficace pour des simulations globales sur de grands réseaux artériels.
- Bien adapté pour des géométries simples ou faiblement courbées.
- Coût de calcul très faible.
- Modèle 2D :
- Plus précis pour des géométries complexes (bifurcations, anévrismes).
- Permet de mieux capturer les effets locaux et les interactions fluide-structure.
- Coût de calcul modéré par rapport aux modèles tridimensionnels (NS-FSI 3D).
L’utilisation combinée de ces deux modèles permet une alternative efficace aux simulations 3D, tout en offrant un bon compromis entre précision et coût de calcul.